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开环连续模型中的时间延迟近似

此示例演示如何使用pade近似计算开放连续时间系统中的延迟。

当使用不支持时间延迟的分析或设计工具时，Pad近似值非常有用。 使用过高的近似阶数会导致数值误差和可能不稳定的极点。 因此，避免相同阶数的近似。 .

设置任务

创建具有延迟输出的开环系统示例。

TimeDelayApproximationInContinuousTimeOpenLoopModelExample_01.png
In [ ]: 
Pkg.add(["ControlSystems"])
In [ ]: 
using ControlSystems

默认情况下，延迟为2.6，但您可以设置自己的参数。 结果，您将获得状态空间（ss）形式的P对象，时间延迟为2.6秒。

In [ ]: 
s = tf('s');

L = 2.6 # @param {type:"slider", min:0, max:9, step:0.1}
P = exp(-L*s)/(s^2+0.9*s+1)
Out[0]:
DelayLtiSystem{Float64, Float64}

P: StateSpace{Continuous, Float64}
A = 
  0.0   1.0
 -1.0  -0.9
B = 
 0.0  0.0
 1.0  0.0
C = 
 0.0  0.0
 1.0  0.0
D = 
 0.0  1.0
 0.0  0.0

Continuous-time state-space model

Delays: [2.6]

一阶近似

为P计算一阶Pade近似。

In [ ]: 
Pnd1 = pade(P,1)
Out[0]:
StateSpace{Continuous, Float64}
A = 
  0.0   1.0   0.0
 -1.0  -0.9   0.0
  1.0   0.0  -0.7692307692307692
B = 
 0.0
 1.0
 0.0
C = 
 -1.0  0.0  1.5384615384615383
D = 
 0.0

Continuous-time state-space model

该命令用一阶近似值替换P中的所有时间延迟。 因此，Pnd1是没有延迟的三阶系统。

使用以下方法比较初始模型和近似模型的频率响应 bodeplot.

In [ ]: 
bodeplot([P, Pnd1], label = ["P" "Pnd1"])
Out[0]:

P和Pnd1的振幅特性完全相同。 然而，Pnd1相与P相相差约1rad/s。

三阶近似

增加焊盘近似以便扩大相位近似良好的频率范围。

In [ ]: 
Pnd3 = pade(P,3);

比较P、Pnd1和Pnd3的频率特性。

In [ ]: 
bodeplot([P, Pnd1, Pnd3], label = ["P" "Pnd1" "Pnd3"])
Out[0]:

当使用三阶的Padet近似时，相位特性的误差减小。

比较原始系统和近似系统在时域上的瞬态特性，使用 step.

In [ ]: 
plot(
    [step(P), step(Pnd1), step(Pnd3)], 
    label = ["P" "Pnd1" "Pnd3"]
)
Out[0]:

结论

Pade近似的使用导致在初始过渡过程中出现非最小相位。 这种效应在一阶近似中相当明显，在改变方向之前显着下降到零以下。 在更高阶的近似中，这种效应被减小，并且它更好地匹配系统的精确响应。