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基于Julia集创建分形动画

导言

1918年，法国科学家加斯顿*朱莉娅（Gaston Julia）在迭代过程中研究了复杂函数的行为，但只有随着计算机的出现，世界才看到了隐藏在他的方程中的美丽。

Julia集是秩序与混沌边界的视觉体现。 一个简单的方程 创建无限多种自相似的分形，其中每个点都冲向无穷大或保留在有限的区域内。

在这个例子中，我们将看看如何使用复数，迭代和配色方案来创建Julia set形状的动画，该形状根据常量的变化角度改变其状态。

我们将附加必要的库。

In [ ]: 
neededLibs = ["LinearAlgebra", "Printf", "ProgressMeter", "Images", "FileIO", "ColorSchemes", "VideoIO"]
for lib in neededLibs
    try
        eval(Meta.parse("using $lib"))
    catch ex
        Pkg.add(lib)
        eval(Meta.parse("using $lib"))
    end
end

形状和动画参数

定义动画参数。 所需参数:

*动画持续时间;
*框架宽度;
*框架高度;
*每秒帧数;
*常数的初始角度;
*常数的最终角度;
*形状的半径;
*迭代次数;
*复杂平面的尺寸（与框架的宽度和高度成比例地转换）。

In [ ]: 
сек = 60  # 动画持续时间
ш = 1920  # 框架宽度
в = 1080  # 框架高度
квс = 60  # 每秒帧数
α = 2π*0.14  # 常数的初始角度
β = 2π*0.86  # 常数的最终角度
r = 0.78  # 半径
итер = 20  # 迭代次数
л = 1.5  # 复平面的线性宽度

复平面

基于初始帧，我们将计算动画中的帧数，并为复平面创建数字数组。 哪里 -实部阵列, -虚部的阵列。

In [ ]: 
кадры = сек * квс  # 总帧数
# 创建一个复杂的平面
X = [x for y in range(-л, л, length=в), x in range(-л, л, length=ш)];
Y = [y for y in range(-л, л, length=в), x in range(-л, л, length=ш)];

具有表达式和迭代的函数

让我们定义一个计算每个复数的函数，并执行计算函数的迭代，并将结果值替换为函数参数。

函数定义如下:

,

哪里:

,

,

-常数的变化角度，影响图形的动画,

-假想单位。

In [ ]: 
function Жюлиа(X, Y, a, r, итер)
    Z = X .+ im .* Y
    C = r .* cos(a) .+ im .* r .* sin(a)
    
    for k in 1:итер
        Z = Z .^ 2 .+ C
    end
    return exp.(-abs.(Z)), C
end

创建字幕

让我们定义一个函数，以srt格式创建字幕，以显示与形状的当前状态相对应的当前Z值。

In [ ]: 
function кадр_время(к, квс)
    T = zeros(UInt32, 4)
    квч = 3600 * квс  # 每小时帧数
    квм = 60 * квс    # 每分钟帧数
    бч = mod(к, квч)  # 没有手表的镜头
    бм = mod(бч, квм)  # 没有分钟和小时的帧
    T[1] = (к - бч) ÷ квч  # 手表
    T[2] = (бч - бм) ÷ квм  # 分钟
    T[4] = mod(бм, квс)  # 没有秒、分钟或小时的帧
    T[3] = (бм - T[4]) ÷ квс  # 秒数
    мс = round(Int, 999 * T[4] / (квс - 1))
    субт = string(lpad(T[1], 2, '0'), ':', lpad(T[2], 2, '0'), ':', lpad(T[3], 2, '0'), ',', lpad(мс, 3, '0'))
    return субт
end

创建动画

让我们创建一个进度条并开始动画创建过程。

In [ ]: 
кадр = 0
t = 0.0
время = 0.0
видео = []
п = Progress(кадры, 1, "Создание анимации:")
субтитры = open("Множество Жюлиа.srt", "w")
ProgressMeter.ijulia_behavior(:clear)
for a in range(α + (β - α)/кадры, stop = β, step = (β - α)/кадры)
    старт = time()
    время += t
    кадр += 1 
    скорость = кадр / max(время, 0.001)
    осталось = (кадры - кадр) / скорость
    ProgressMeter.next!(п; showvalues = [(:Время, @sprintf "%d секунд" round(Int, время)), (:Создано, @sprintf "%d кадров" кадр), (:Скорость, @sprintf "%.4f кадров в секунду" скорость), (:Осталось, @sprintf "%d секунд" round(Int, осталось))])
    J, C = Жюлиа(X, Y, a, r, итер)
    J[isnan.(J)] .= 0.0
    push!(видео, convert.(RGB{N0f8}, get.(Ref(ColorSchemes.magma), clamp.(J, 0.0, 1.0))))
    write(субтитры, string(string(кадр), "\n", кадр_время(кадр-1, квс), " --> ", кадр_время(кадр, квс), "\n", "f(z) = z² ", real(C) >= 0 ? "+ " : "- ", @sprintf("%.5f", abs(real(C))), " ", imag(C) >= 0 ? "+ " : "- ", @sprintf("%.5fi", abs(imag(C))), "\n\n"))
    t = time() - старт
end

if !isempty(видео)
    @info "Сохраняем видео..."
    параметры = (crf=23, preset="medium")
    VideoIO.save("Множество Жюлиа.mp4", видео, framerate=квс, encoder_options=параметры)
end

close(субтитры)

println("\nАнимация создана успешно!")
println("  - Всего кадров: $кадры")
println("  - Время создания: $(round(Int, время)) секунд")
println("  - Средняя скорость создания: $(round(кадры/время, digits=4)) кадров в секунду")

完成动画创建过程后，当前文件夹中会出现一个带有图形的视频文件。:

Z^2.gif

如果在计算迭代而不是表达式的函数中 替换为 ，并将配色方案替换为 turbo, 我们将得到一个同样有趣的数字。

Z^3.gif

如果我们将表达式定义为 通过将配色方案替换为 rainbow，我们得到一个更不寻常的形状。

Z^Z.gif

结论

Julia集的动画不仅展示了美学，还展示了分形几何的应用价值。 基于复平面迭代变换原理的算法被用于各种科学和工程领域。

主要应用领域

*电信。
具有自相似结构的分形天线提供具有最小尺寸的多频带，这对于移动设备和卫星通信至关重要。
*计算机建模。
分形生成算法用于合成计算机图形中的自然景观，以及对多孔材料和生物结构进行建模。
*医疗诊断。
分形分析用于医学图像处理，以量化血管，神经网络和肺组织的复杂性。
*加密和数据保护。
分形系统的确定性混沌用于伪随机数发生器和隐写方法。

因此，从一个抽象的数学对象到一个实用的工具，分形代表了理论数学和应用技术之间的重要桥梁。 所展示的动画技术不仅可以可视化这些概念，还可以通过参数实验来探索动态系统中秩序和混沌之间的界限。