Маятник на подвижной опоре: физический компонент Engee

В этом примере представлена реализация математического маятника, точка подвеса которого может перемещаться вдоль горизонтальной оси.

Данная модель является естественным расширением классического маятника и находит применение в задачах робототехники.

Описание модели

Рассмотрим маятник массы , закрепленный на невесомом стержне длиной . Точка подвеса может перемещаться горизонтально с переменной скоростью . На систему действуют:

Сила тяжести ;
Сила демпфирования, пропорциональная скорости маятника с коэффициентом ;
Реакция опоры (натяжение стержня).

При движении опоры возникает дополнительная инерционная сила, обусловленная ускорением точки подвеса.

Положение массы маятника в абсолютной системе координат:

Скорость массы:

Уравнение движения маятника относительно точки подвеса:

где:

— угол отклонения от вертикали (рад);
— угловая скорость (рад/с);
— масса маятника (кг);
— длина стержня (м);
— коэффициент демпфирования (кг/с);
— ускорение свободного падения (м/с²);
— положение точки подвеса (м).

Горизонтальная сила реакции, действующая на опору:

Эта сила передается через линейный порт и позволяет моделировать взаимодействие маятника с тележкой или другим источником движения.

Запуск модели

При гармоническом движении опоры маятник демонстрирует:

Вынужденные колебания — маятник колеблется с частотой движения опоры;
Резонанс — при совпадении частоты движения опоры с собственной частотой маятника амплитуда колебаний резко возрастает;
Затухание — амплитуда ограничена демпфированием;
Переходные процессы — при включении движения опоры наблюдаются переходные колебания.

engee.open("pendulum_on_moving_cart.engee")
data = engee.run()

angle_array = data["Отклонение маятника [град]"]
position_array = data["Перемещение тележки [м]"]

gr()
plot(
    plot( position_array.time, position_array.value, xlabel="Время, с", ylabel="Смещение, м",
      label = "Перемещение опорной платформы (м)",
      title="Движение маятника на подвижной платформе"),
    plot( angle_array.time, angle_array.value, c = 2, xlabel="Время, с", ylabel="Угол, град",
      label = "Угол отклонения маятника (градусы)"),
    layout=(2,1)
)

Заключение

Модель маятника на подвижной опоре в полярных координатах учитывает движение опоры через линейный порт и позволяет моделировать движение системы средней сложности под действием разных источников движения (сила, скорость, сигнал), а подход моделирования через физические компоненты обеспечивает высокую гибкость при описании сложных механических систем.

Данная модель может быть использована как основа для моделирования более сложных систем, таких как:

Маятник на тележке (классическая задача управления);
Сейсмический маятник (датчик колебаний);
Подвесные системы с подвижным основанием.